יעקב וצאן לבן

אנו קוראים בפרשת ''ויצא יעקב'', על קורותיו של יעקב אבינו בחברת לבן הארמי, ותוך כדי עיון בפרשה, מגלים לכאורה אירוע פלאי: יעקב היה רועה את צאן לבן, ובקרב הצאן היה מיעוט של ''חוּם בַּכְּשָׂבִים, וְטָלוּא וְנָקֹד, בָּעִזִּים'' [בראשית ל' ל''ב].

יעקב ולבן באו לידי הסכם כי שכרו של יעקב יהיה הצאן שבמיעוט האמור – כלומר – כל ''חוּם בַּכְּשָׂבִים, וְטָלוּא וְנָקֹד, בָּעִזִּים''.

להשלמת התמונה יובהר: הכבש הוא האיל [זכר], בת זוגו היא כבשה [או רחל]. לאיל יש קרניים, לכבשה בדרך כלל אין קרניים אך שניהם מביאים תועלת לאדם – בס''ה במתן חלב, בשר, יצירת אריגים, ובשימוש בקרני האיל למטרות שונות. גם העז משמשת לחלב, בשר וצמר, והזכר בעזים הוא התיש. [תיש צעיר נקרא גדי עזים, והתיש מכונה גם שעיר עזים].

ברגיל, לא נמצא הרבה כבשים או אילים חומים, ולא נמצא הרבה עזים ותיישים נקודים וטלואים [מכוסים בנקודות ובכתמים קטנים].

יעקב הסכים לכאורה ''לבוא לקראת לבן'' ולהסתפק במיעוט הצאן, אך כדי שהמיעוט ישתווה לרוב במניינו, הפעיל יעקב את חכמתו שכנראה עלתה על חכמת לבן ויועציו, והפריד את הצאן, כפי שכתוב בפסוק מ' בבהירות רבה.

והתוצאה?

מג וַיִּפְרֹץ הָאִישׁ, מְאֹד מְאֹד; וַיְהִי-לוֹ, צֹאן רַבּוֹת, וּשְׁפָחוֹת וַעֲבָדִים, וּגְמַלִּים וַחֲמֹרִים.

הצגת האירוע הזה כפלא היא טעות. ההפרדה מביאה לידי התרבות מהירה של המיעוט, עד להגיעו לדרגת הרוב, ולשם הוכחת הדברים נדמיין לנו מודל בו יש 1000 ראשי צאן מסוג הרוב [יכונו ר'] ורק 100 ראשי צאן מסוג המיעוט [יכונו מ'].

במצב של צאן מעורב ללא הפרדה, היחס הראשוני יישמר.

במצב של הפרדה, הבה ונבדוק זאת תחת הנחה כי הסיכוי כי לזוג ר' ייוולד ר' הוא 90% והסיכוי כי לזוג ר' ייוולד מ' הוא 10%. כמו גם שהסיכוי שלזוג מ' ייוולד מ' הוא 90% והסיכוי כי לזוג מ' ייוולד ר' הוא 10%.

הנחה נוספת היא, שבכל מחזור הצאן מכפיל את עצמו כמותית.

במצב של הפרדה, אין לדון כלל בסיכוי של הזדווגות מהורים מסוגים שונים – ר' יהא מנוטרל מ-מ', ומיד עם לידת מ' בקבוצת ר' הוא יועבר לקבוצה המתאימה, וכך יהא גם לגבי המקרים של לידת ר' בקבוצת מ'.

להלן המצב של הצאן לאחר כמה מחזורים, מובא בטבלה:

צאן המיעוט		צאן הרוב
המועבר מהרוב	100	המועבר מהמיעוט	1000	מצב ראשוני
100	100+90	10	1000+900	כעבור מחזור אחד
191	290+261	29	1910+1719	שני מחזורים
366	742+668	74	3658+3292	שלושה
703	1776+1598	178	7024+6321	כעבור 4 מחזורים
4077		13523		ס''ה כעבור 4 מחזורים

עינינו הרואות כי כעבור 4 מחזורים בלבד גדל הצאן של יעקב על פי המודל המוצע פי 40.8 בעוד צאן לבן גדל רק פי 13.5, ובהשוואה אחרת, יעקב החל את התהליך עם צאן קטן כמותית פי 10 מצאן לבן, וכעבור 4 מחזורים גדל צאנו לכדי ערך הקטן רק פי 3.3 מצאן לבן.

התהליך הזה יתמשך עד להגעה לשוויון כמותי בין שני המחנות, וזאת יכול היה יעקב לדעת מראש.

עוד עובדה תפעל לזכות גידול הצאן של יעקב, והיא, כי בהיות החומים והטלואים ייחודיים, הרי הם יביאו לעולם צאצאים כמותם בסיכוי גבוה יותר מאשר הצאן הרגיל שאינו ייחודי, אך גם ללא סיוע בעובדה תורשתית זו, עדיין מהבחינה ההסתברותית-מתמטית ברור כי יעקב נהג בחכמה ויכול היה לצפות מראש, בבטחה, כי ההפרדה של הצאן תעצים את רכושו ללא כל צורך בנס.

---